jueves, 6 de junio de 2013

¿un sistema matemático?


(ensayo)

¿I, V, L, C, D, M, proceden de algún alfabeto? 

Suele decirse que los números romanos constituyen un método o sistema con el cual se puede hacer cálculos matemáticos. No es así. De hecho, desde épocas pretéritas del imperio, se utilizó algún tipo variado de moneda para el comercio, totalmente ajeno al sistema conocido como NÚMEROS ROMANOS. Estos números tendrían un propósito muy diferente, muy práctico por cierto, pero no avanzaba sino hasta algunas pocas miles de “cosas”. 

También suele decirse que LOS NÚMEROS ROMANOS proceden o son el desarrollo histórico de culturas matemáticas ancestrales, pero como este sistema numérico no pretende hacer "matemáticas", se constituye en un método inventado por los mismos romanos.

Al parecer el interés del sistema de numeración  romano no iba más allá de la mera contabilidad de intendencia, almacén o inventario, muy útil en las campañas bélicas y, especialmente para la información “numérica” persona-persona de campaña, mediante señas sin necesidad de “bajarse del caballo”, sin pronunciar una sola palabra y sin necesidad del conocimiento del idioma de su interlocutor.No era un sistema matemático sino un "lenguaje numérico de campaña".

El sistema de numeración romano, probablemente introducido por algún soldado encargado de la intendencia, muy al comienzo del imperio, quien, no es extraño, quiso ofrecer al ejército un método unificado de contabilidad, dada la multiplicidad de símbolos numéricos de la época, y este método lo tuvo a la mano: 

Una cosa, un dedo, el número I; 

Dos cosas, dos dedos, el número II; 

Tres cosas, tres dedos, el número III; 

Cuatro cosas, cuatro dedos, el número IIII (la estatuaria primitiva romana revela el número 4 de esa manera, plasmado hasta la actualidad en la relojería; fue posteriormente que se introdujo el IV, lo que implicaba algún grado de imaginación matemática); 

Cinco cosas, toda la mano, la mano abierta, el número V (no es, como se piensa, la letra  ”V”. Si se traza una línea desde la punta del dedo meñique hasta la base de la palma, y de allí hasta la punta del dedo gordo, aparece el símbolo romano del 5). 


De aquí en adelante, dio vuelo la imaginación del soldado romano matemático. 

Seis cosas, una mano y un dedo, el número VI;

Siete cosas, una mano y dos dedos, el número VII, luego el VIII, el VIIII y por último sus dos manos cruzadas entre sí, con sus dedos unidos, el número X.


Veinte cosas, dos toquecitos , el número XX, y así sucesivamente hasta que se percató que los símbolos numéricos iban de “mano” en “mano”, y así, una “mano” de X, era una mano de ‘alto’ (con los dedos índice a meñique extendidos pero unidos, trazaría una línea paralela al eje de estos dedos hasta la base de la palma, que en ángulo con el eje del dedo gordo extendido, tiene el número L, el 50. 


Cien cosas, una mano semicerrada, el número C. 



El quinientos, no le debió ser muy difícil: una mano semicerrada, adosada a la otra erecta, “cien manos”, el número D. 



El mil, el número M, sólo le costaría entrelazar los dedos, desde la posición D. 


El “cero”, aquel invento genial traído de oriente, los romanos ni se lo imaginaron. No funcionó como concepto matemático, sino como concepto de “nada”, y nada es la mano “sin dedos”, y su símbolo, el minúsculo círculo, el pequeño hoyuelo de la mano cerrada. 


Y de números fraccionarios, menos todavía. No era necesario, pues se trataba de "contar cosas", no hacer cálculos matemáticos.

Así que los símbolos de los números romanos no han de corresponder a letras de ningún alfabeto sino a la representación de las señas que los romanos habrían de utilizar en el campo de operaciones militares, y su representación escrita, a la contabilidad de los cuarteles. La vida civil, ya contaba con su moneda, las matemáticas del comercio.

Este pudo ser el nacimiento de LOS NÚMEROS ROMANOS, muy prácticos y útiles para la comunicación numérica de campaña, pero carentes de toda filosofía matemática, muy lejos de la que entregó al mundo la cultura árabe.

MATEMÁTICAS ROMANAS

Es posible distinguir históricamente dos tipos de escritura de los números romanos. La escritura “natural”,  la que surge directamente de los dedos y señas de las manos:

IIII = 4;        
VIIII = 9;        
XXXX = 40;       
CCCC = 400;        
MMMM = 4000,

 y la escritura “formal”, aquella que serviría de registro en los libros contables y que se vale del cálculo intrínseco o posicional, en la cual no es posible repetir más de 3 veces cada número, tipo de escritura más conocida históricamente:


 IV = 4;      
VI = 6;     
IX = 9;      
XI = 11;      
XL = 40;      
LX = 60;      
CD = 400;        
DC =  600, etc. 


No he encontrado una explicación “matemática” para esta forma de escritura, y probablemente pudo surgir por razones de economía o síntesis.


Un sencillo ejercicio aritmético de suma con cifras romanas, lleva rápidamente a una primera “regla”: las cifras sometidas a la suma, deben escribirse en su forma “natural”. La escritura “formal” dificulta mucho el cálculo, y en mi concepto, dispendiosa y hasta imposible, con un número importante de cifras a sumar.


La “tabla de la suma” habría de consistir en tantas columnas como símbolos tenga el número y las hileras con cada uno de los sumandos. 


En las columnas de la tabla se desglosa la cifra, al final, dos hileras, una del “lleve” y en la última, el “resultado”.


En el procedimiento se suman los valores de cada columna, y en la medida que aparecen los sumandos parciales que correspondan al valor de otra columna, se coloca un “lleve” en tal columna, “lleve”, que a su vez, habrá de sumarse en su columna correspondiente. El resto de las sumas parciales, irá al “resultado”.




En el ejemplo 1, en la columna I hay 7 valores de I, de los cuales 5 irán al “lleve” de la columna "V" y los dos restantes al resultado, así sucesivamente.

Ejemplo 2 sigue la misma regla.

La resta del ejemplo 3 sería el proceso inverso: de la columna mayor del minuendo, va al “lleve” un valor equivalente cuando este es menor que el sustraendo, restando este valor en la columna del que procede.

En este caso, el minuendo de la columna M es menor (“nada”) que el sustraendo, por tanto un valor equivalente del minuendo de la columna  "V raya arriba" irá al “lleve” por lo que desaparecerá de aquella columna; este "lleve" permitirá la resta.  Al desaparecer el minuendo de la columna "V raya arriba" (valor "nada"), debe arrastrarse al “lleve” un valor equivalente de la columna  "X raya arriba", lo que permitirá la resta, así sucesivamente.  

Como no existe el "cero", el minuendo debe descomponerse en tantas cifras evitando las columnas vacías.

Obsérvese este ejemplo sencillo de resta:

El DXX se descompone en las columnas "C" y "L", eliminando el palito trasladado (en rojo), generando así los valores para ejecutar la operación.

No es extraño que para facilitar la óptima visualización de la operación, se escribiera el “nada” (o) en los espacios en blanco.

 
La “tabla de la multiplicación” llevaría la misma regla de la  suma: tantas columnas como indique el multiplicando y tantas filas como indique el multiplicador:



Su transcripción "oficiosa o formal", sería: 

La división tendría la misma regla de la alineación “natural” de los soldados en las escuadras.




En el ejemplo 5, si van a formación 123 centuriones (dividendo), en filas de a 4 soldados (divisor), ellos se irían acomodando, uno detrás del otro, hasta encontrar el número de filas correspondiente (cociente), y los soldados que sobran (residuo).


Lo anterior significa que 123 soldados de a 4 por fila, arroja un número de 30 filas  y sobran 3 soldados. 


En el ejemplo 6, en la cuadrícula coloreada (3 filas del divisor), caben 3.522 unidades exactas, y sobran 2. En cada fila caben 1.174 unidades (el cociente, en verde).

Con el mismo método "sumatorio", se puede calcular el cuadrado de un número (la suma cuadrática), el cubo, sumando la base tantas veces como indique la potencia.

Una vez hechos los cálculos en las respectivas tablas, los tableros, el contador de intendencia presentaría su informe de los resultados con la escritura "formal".

PERO, ¿ES MATEMÁTICA? 

De los números arábigos, los números romanos no se diferencian "matemáticamente" desde el uno hasta el nueve. Ambos sistemas "cuentan dedos". Aunque se le debe abonar al sistema romano rendir especial homenaje a la madre naturaleza por haber denominado al cinco, "V", el símbolo de la mano abierta, la diferencia, y abismal, entre ambos sistemas se nota del diez en adelante. 

Mientras los romanos siguieron contando "dígitos", uno a uno, con la aritmética, los números arábigos descubren las matemáticas: mientras los romanos contaban dos manos de dedos, "X" dedos, para los números arábigos era la primera "decena y cero unidades". Ya no era un conjunto de diez "cosas" sino un "valor matemático". Esta gigantezca ventaja la tomó el número arábigo introduciendo el número abstracto "cero", que para estos era tan valioso como el lugar que ocupe, para los romanos era "nada". Para los romanos, el número once eran dos manos más un dedo, XI; para los números arábigos era la primera decena más una unidad; para los romanos el número veinte eran "cuatro manos", el número XX, para los números arábigos era la segunda decena más cero unidades. Mientras "L", para los romanos era la 'denominación' de cierta cantidad de cosas, para los números arábigos no era una señal sino un valor constituido por cinco decenas y cero unidades.

La primera ventaja práctica del sistema arábigo, es que no fue necesario usar grandes tablas para "descomponer" el número al efectuar el cálculo, puesto que el número arábigo, al posicionar un mismo dígito en columnas según su valor matemático (centenas, decenas, unidades, etc), ya estaba "descompuesto" y listo para cualquier cálculo.

Es por esto que no es posible llamar "matemáticas" a la aritmética romana. Y es por esto que los números romanos no sobrevivieron al imperio, no más allá de los índices o catálogos. Los números arábigos abrieron la puerta de las ciencias.







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